:: Jawapan Teori Set ::

Jawapan 1 ::

(a)	(b)
	A ∩ B = {6, 8} A ∪ C = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 10} A ′ = {1, 3, 5, 7, 9} B ′ = {2, 4, 5, 9, 10} B ∩ A ′ = {1, 3, 7} B ∩ C ′ = {1, 6, 8} A – B = {2, 4, 10} A Δ B = {1, 2, 3, 4, 7, 10}

(c)  C - B = ø

jawapan 2 ::        

                                           

(a)	(b)
(c)	(d)
(e)	(f)

:: Latihan Teori Set ::

1. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = (1, 3, 6, 7, 8}

C = {3, 7}

• (a) Menggambarkan dalam set U, A, B dan C dalam gambar rajah Venn, menandakan semua unsur-unsur di tempat yang  sesuai.(Nota: jika mana-mana kawasan didalam gambar rajah anda tidak mengandungi sebarang unsur-unsur, tarik semula set gelung untuk membetulkan).
• (b) Dengan menggunakan gambar rajah Venn anda, senaraikan elemen-elemen dalam       setiap set yang berikut:   A ∩ B, A ∪ C, A′, B′, B ∩ A′, B ∩ C′, A – B, A Δ B
•  (c) Lengkapkan penyataan yang menggunakan ungkapan tunggal : C - B = ... .

::Contoh Logical Equivalent::

contoh 1: 

Menunjukkan bahawa (p ∧ q) → p adalah 'tautology'.

• buktikan: mesti menunjukkan bahawa  (p ∧ q) → p <=> T)


(p ∧ q) → p <=> ¬(p ∧ q) ∨ p       Useful
<=> [¬p ∨ ¬q] ∨ p                        DeMorgan
<=> [¬q ∨ ¬p] ∨ p                        Commutative
<=> ¬q ∨ [ ¬p ∨ p ]                      Associative
<=> ¬q ∨ [ T ]                               Useful
<=> T                                            Domination

:: kepentingan Dalam "Logical Equivalent"::

• Identity

– p ∧ T <=> p

– p ∨ F <=> p

•  Domination

– p ∨ T <=> T

– p ∧ F <=> F

::Logical Equivalent::

DeFinisi: 

• Usul p dan q dipanggil kesetaraan logik (logical equivalent), jika p ↔ q  adalah 'tautology' (bermakna jika usul p dan q mempunyai jadual kebenaran yang sama) . Catatan menunjukkan bukan p <=> q menandakan p dan q adalah kesetaraan logik.

Equivalent


Contoh kepentingan dalam kesetaraan :
• DeMorgan's Laws:
• 1) ¬( p ∨ q ) <=> ¬p ∧ ¬q
• 2) ¬( p ∧ q ) <=> ¬p ∨ ¬q

:: logical proposition::

-maKsud "Logical Proposition"-



merupakan sesuatu kebenaran kenyataan pembolehubah kepada benar atau palsu.
Berikut adalah contoh :

• A = {p 7! True, q 7! False, r 7! True}

• A(p) = True A(q) = False A(r) = True

maksudnya adalah fungsi daripada kebenaran kenyataan untuk benar atau palsu .

::Indirect proof::

Definisi Indirect Proof


adalah jenis bukti di mana kenyataan yang dibuktikan dianggap palsu dan jika andaian itu benar, maka kenyataan itu dianggap palsu dan telah dibuktikan secara benar.

Contoh Indirect Proof


Jumlah bagi 2n adalah nombor genap, dimana n >0. Buktikan penyataan ini menggunakan 'Indirect proof'. Langkah pertama ' indirect proof' adalah untuk menganggap bahawa jumlah bagi nombor integer adalah nombor ganjil.

::Contoh Direct Method of Proof::

Contoh 2: 

Buktikan kenyataan sejagat yang berikut:
Jika n adalah mana-mana integer, maka (-1) n = 1


Buktikan :
katakan n adalah nombor integer genap.(kita mesti tunjukkan bahawa(−1)ⁿ = 1.) Kemudian takrifkan nombor genap, n = 2k untuk integer k
oleh itu,menggunakan eksponen algebra, kita telah buktikan seperti berikut:

                                                                        (−1)ⁿ = (-1)^2k
                                                                                = ((−1)²)^k
                                                                                = (1)^k
                                                                                = 1
Ini adalah penyataan yang ditunjukkan dan selesai di buktikan.

Contoh 1 Direct Method of Proof

Contoh 1:  

jika m adalah nombor genap dan n adalah nombor ganjil maka m + n adalah nombor ganjil. 

Andaikan m adalah nombor genap dan n adalah nombor ganjil.

∃k, m = 2k, k adalah integer

k = 1, m = 2(1) = 2, benar

∃s, n = 2s + 1, s adalah integer

s = 1, n = 2(1) + 1 = 3, benar

m + n = (2k) + (2s + 1)

          =2k + 2s + 1

          =2 (k + s) + 1, gantikan (k + s) = w

          =2w + 1

kesimpulannya m + n = 2w + 1 maka m + n adalah nombor ganjil dan ianya adalah benar.

:: Direct dan Indirect Proof ::

Direct Proof

• Andaikan hipotesis adalah benar
• Menggunakan sebarang rujukan dan persamaan logik untuk dibuktikan bahawa kesimpulannya adalah benar. 

Bagaimana hendak membuktikannya :

• Jika p adalah benar, maka q mestilah benar untuk p → q menjadi benar.

:: Logik ::

Definisi : 

• Menggunakan kaedah-kaedah operasi pada satu kenyataan atau beberapa kenyataan  untuk mencapai satu penyelesaian yang betul.

Nilai Kebenaran(Truth value) :

• Adalah mana-mana kenyataan sama ada benar atau palsu tetapi bukan kedua-duanya. kenyataan yang boleh diberikan nilai kebenaran, benar (T atau 1) atau Salah (F atau 0).

Teori Set

Pengenalan Kepada Teori Set

• Satu koleksi objek yang tidak tersusun yang merangkumi elemen atau ahli sebagai objek dalam set.
• Teori set menggunakan sesuatu objek yang berkaitan dengan matematik. 

Nombor natural


Mengira nombor(atau nombor bulat) bermula dengan nombor 1, dipanggil nombor asal. Set nombor natural juga boleh diwakili oleh huruf N. Jadi N ={1,2,3,...}




Nombor Integer


Semua nombor bulat,nombor positif,nombor negatif,dan kosong adalah daripada set integer. Set nombor integer boleh diwakili dengan huruf  Z. Jadi Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

:: Apa Itu MatematiK Diskrit::

Matematik diskrit adalah sebahagian daripada matematik yang mempelajari objek - objek diskrit. Objek - objek diskrit diertikan sebagai objek - objek yang berbeza. Matematik diskrit memiliki aplikasi yang hampir sama dengan kehidupan, seperti ilmu komputer, kimia, pertanian, geografi dan perniagaan.